Conjuntos Numéricos

Definição de Conjuntos Numéricos

Ao agrupamento de elementos com características semelhantes damos o nome de conjunto. Quando estes elementos são números, tais conjuntos são denominados conjuntos numéricos.

Conjunto dos Números Naturais:

São todos os números inteiros positivos, incluindo o zero. É representado pela letra maiúscula N.
Caso queira representar o conjunto dos números naturais não-nulos (excluindo o zero), deve-se colocar um * ao lado do N:

N = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, …}
N* = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11, …}

No entanto podemos ter a representação de apenas um subconjunto dele. A seguir temos um subconjunto do conjunto dos números naturais formado pelos quatro primeiro múltiplos de sete:

Conjunto dos Números Inteiros:

São todos os números que pertencem ao conjunto dos Naturais mais os seus respectivos opostos (negativos).
São representados pela letra Z:

Z = {… -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …}

O conjunto dos inteiros possui alguns subconjuntos, eles são:

- Inteiros não negativos
São todos os números inteiros que não são negativos. Logo percebemos que este conjunto é igual ao conjunto dos números naturais.
É representado por Z₊:

Z₊ = {0,1,2,3,4,5,6, …}

- Inteiros não positivos
São todos os números inteiros que não são positivos. É representado por Z_-:

Z_- = {…, -5, -4, -3, -2, -1, 0}

- Inteiros não negativos e não-nulos
É o conjunto Z₊ excluindo o zero. Representa-se esse subconjunto por Z*₊:

Z*₊ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …}

Z*₊ = N*

- Inteiros não positivos e não nulos
São todos os números do conjunto Z_- excluindo o zero. Representa-se por Z*_-.

Z*_- = {… -4, -3, -2, -1}

Obs: Note também que  e que .

Conjunto dos Números Racionais:

Os números racionais é um conjunto que engloba os números inteiros (Z), números decimais finitos (por exemplo, 743,8432) e os números decimais infinitos periódicos  (que repete uma sequência de algarismos da parte decimal infinitamente), como “12,050505…”, são também conhecidas como dízimas periódicas.
Os racionais são representados pela letra Q.

O numerador e o denominador desta fração devem pertencer ao conjunto dos números inteiros e obviamente o denominador não poderá ser igual a zero, pois não há divisão por zero.

O número 20,1 por exemplo, pode ser expresso como , assim como 0,375 pode ser expresso como  e 0,2 por ser representado por .

Note que se dividirmos quatro por nove, iremos obter 0,44444...  este é um exemplo de dízima perolada que também pode ser representada como , mas que apesar disto também é um número racional, pois pode ser expresso como .

O conjunto dos números inteiros é um subconjunto do conjunto dos números racionais, temos então que .

Facilmente podemos intuir que  representa o conjunto dos números racionais negativos e que  representa o conjunto dos números racionais positivos ou nulo.

Abaixo temos um conjunto com quatro elementos que é subconjunto do conjunto dos números racionais:

A realização de qualquer uma das quatro operações aritméticas entre dois números racionais quaisquer terá como resultado também um número racional, obviamente no caso da divisão, o divisor deve ser diferente de zero. Sejam a e b números racionais, temos:

Conjunto dos Números Irracionais:

É formado pelos números decimais infinitos não-periódicos. Um bom exemplo de número irracional é o número PI (resultado da divisão do perímetro  de uma circunferência pelo seu diâmetro), que vale 3,14159265 …. Atualmente, supercomputadores já conseguiram calcular bilhões de casas decimais para o PI.
Também são irracionais todas as raízes não exatas, como a raiz quadrada de 2 (1,4142135 …)

Provavelmente os mais conhecidos deles sejam o número PI (  ), o número de Euler (  ) e a raiz quadrada de dois (  ). Se você se dispuser a calcular tal raiz, passará o restante da sua existência e jamais conseguirá fazê-lo, isto porque tal número possui infinitas casas decimais e diferentemente das dízimas, elas não são periódicas, não podendo ser expressas na forma de uma fração. Esta é uma característica dos números irracionais.

A raiz quadrada dos números naturais é uma ótima fonte de números irracionais, de fato a raiz quadrada de qualquer número natural que não seja um quadrado perfeito é um número irracional.  é um número irracional, pois 120 não é um quadrado perfeito, ou seja, não há um número natural que multiplicado por ele mesmo resulte em cento e vinte, já  é um número natural, pois .

A letra I (  ) representa o conjunto dos número irracionais.

Utilizando o caractere especial "*", por exemplo, podemos representar o conjunto dos números irracionais desconsiderando-se o zero por .

O conjunto abaixo é um subconjunto do conjunto dos números irracionais:

Diferentemente do que acontece com os números racionais, a realização de qualquer uma das quatro operações aritméticas entre dois números irracionais quaisquer não terá obrigatoriamente como resultado também um número irracional. O resultado poderá tanto pertencer a , quanto pertencer a .

Conjunto dos Números Reais:

Acima vimos que um número natural também é um número inteiro (  ), assim como um número inteiro também é um número racional (  ), portanto .

Vimos também que os números racionais não estão contidos no conjunto dos números irracionais e vice-versa. A intersecção destes conjuntos resulta no conjunto vazio: 

A intersecção é uma operação por meio da qual obtemos um conjunto de todos os elementos que pertencem simultaneamente a todos os conjuntos envolvidos. Sejam dois conjuntos  e , a intersecção entre estes dois conjuntos será .

O conjunto dos números reais é representado pela letra R (  ) e é formado pela união do conjunto dos números racionais com o conjunto dos irracionais, que simbólicamente representamos por: .

A união é uma operação por meio da qual obtemos um conjunto de todos os elementos que pertencem ao menos a um dos conjuntos envolvidos. Sejam dois conjuntos  e , a união entre estes dois conjuntos será .

O conjunto dos números racionais está contido no conjunto dos números reais (  ), assim como o conjunto dos números irracionais também é subconjunto do conjunto dos números reais (  ).

Através dos caracteres especiais "+" e "*", por exemplo, podemos representar o conjunto dos números reais positivos por .

Abaixo temos um exemplo de conjunto contendo número reais:

Conjuntos Numéricos Fundamentais em Diagrama

Abaixo temos a representação dos conjuntos numéricos fundamentais em um diagrama.

Através deste diagrama podemos facilmente observar que o conjunto dos números reais (  ) é resultado da união do conjunto dos números racionais como o conjunto dos números irracionais (  ). Observamos também que o conjunto dos números inteiros está contido no conjunto dos números racionais (  ) e que os números naturais são um subconjunto do números inteiros (  ).

Como podemos ver, os diagramas nos ajudam a trabalhar mais facilmente com conjuntos. Ainda neste diagrama rapidamente identificamos que os números naturais são também números reais (  ), mas não são números irracionais (  ), isto porque o conjunto dos números irracionais não contém o conjunto dos números naturais (  ), mas sim o conjunto números dos racionais que os contém (  ), assim como o conjuntos dos números reais (  ) e dos inteiros (  ).

Veja essa vídeo aula rápida e explicativa:

Veja também um exemplo de exercícios: