Mínimo múltiplo comum e Máximo divisor comum

Para o cálculo do mínimo múltiplo comum (mmc) e do máximo divisor comum (mdc) é preciso saber o que são múltiplos e divisores de um número.

Múltiplos de um número natural é o produto da multiplicação desse número por outro, por exemplo:

69 é múltiplo de 3, pois 3 x 23 = 69.

80 é múltiplo de 5, pois 5 x 16 = 80

Divisor de um número natural é aquele número que divide outro, desde que a divisão seja exata, por exemplo:

5 é divisor de 30, pois 30 : 5 = 6

18 é divisor de 90, pois 90: 18 = 5.

Mínimo múltiplo comum (mmc)

O mmc de dois ou mais números é o mesmo que encontrar o menor múltiplo comum entre os números, por exemplo:

Para calcular o mmc de 30 e 60, devemos encontrar primeiro os seus respectivos múltiplos.

M(30) = 0,30,60,90,120,150, ...

M(60) = 0,60,120,180,240, ...

Observando os primeiros múltiplos de 30 e 60 percebemos que eles possuem mais de um múltiplo comum, mas como queremos o menor múltiplo comum, iremos dizer que o mmc (30,60) = 60.

Veja outro exemplo:

mmc (5,9) = 45, pois

M(5) = 0,5,10,15,20,25,30,35,40,45,50,55,60, ...
M(9) = 0,9,18,27,36,45,54,63,72,...

Como o menos múltiplo comum de 5 e 9 é o 45, dizemos que o mmc de 5 e 9 é 45.

Veja, para encontrar o MMC de dois ou mais números, devemos fazer a fatoração dos números, ao mesmo tempo. O divisor não precisa dividir por todos os números. Veja o exemplo:

Números			N. Primo Divisor
6	50	120	2
3	25	60	2
3	25	30	2
3	25	15	3
1	25	5	5
1	5	1	5
1	1	1

MMC = 2 . 2 . 2 . 3 . 5 . 5 = 600

Máximo divisor comum (mdc)

O mdc de dois ou mais números é o mesmo que encontrar o maior divisor comum entre os números, por exemplo:

Para calcular o mdc de 15 e 20, temos que encontrar os divisores de cada número:
D(15) = 1,3,5,15.
D(20) = 1,2,4,5,10,20.

Maior divisor comum entre 5 e 20 é 5, portanto, o mdc (15,20) = 5.

Veja outro exemplo:

mdc (10,25,60) = 10, pois

D(20) = 1,2,4,5,10,20
D(30) = 1,2,3,5,6,10,15,30
D(60) = 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60

O maior divisor comum entre esses números é 10, portanto mdc(20,30,60) = 10.

Veja que é a mesma coisa que no MMC, só que na hora da multiplicação final, só serão multiplicados os números primos que dividiram por todos os números:

Números			N. Primo Divisor
40	60	120	2 (dividiu por todos)
20	30	60	2 (dividiu por todos)
10	15	30	2
5	15	15	3
5	5	5	5 (dividiu por todos)
1	1	1

MDC = 2 . 2 . 5 = 20

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